Теорема Гаусса — Остроградского

Вибачте цей текст доступний тільки в “російська”. For the sake of viewer convenience, the content is shown below in the alternative language. You may click the link to switch the active language.

Теорема расходимости

В векторном исчислении , то теорема расходимости , также известный как теоремы Гаусса или теоремы Остроградского-Гаусса является результатом , который связывает дивергенцию векторного поля к значению поверхностных интегралов из потока Определяется полем. Более подробную информацию можно найти на сайту meanders.ru в статье на тему теорема Гаусса-Остроградского https://meanders.ru/teorema-gaussa-ostrogradskogo.shtml

Теорема расходимости является важным результатом для математики физики , в частности, в электростатике и гидродинамике . Он был впервые обнаружен Жозеф Луи Лагранж ( 1736 – 1813 ) в 1762 году , а потом самостоятельно переоткрыт Гаусс ( 1777 – 1855 ) в 1813 году , по Джордж Грин ( 1793 – 1841 ) в 1825 году и Михаила Васильевича Остроградского ( 1801 – 1862 ) в 1831 , который также дал первое доказательство теоремы.

Определение дивергенции

Пусть х, у, г система декартовых координат на 3-мерном евклидовом пространстве , и пусть я , J , K будет соответствующий базис из единичных векторов .

Расходимости из непрерывно дифференцируемого векторного поля

F = F ¹ i + F ² j + F ³ k

определяется как функция

div F = ∂F ¹ / ∂x + ∂F ² / ∂y + ∂F ³ / ∂z

Еще одно распространенное обозначение расхождения F , удобная мнемоника.

Физическая интерпретация расхождения

В физическом смысле дивергенция векторного поля – это степень, в которой поток векторного поля ведет себя как источник или сток в данной точке. Действительно, альтернативное, но логически эквивалентное определение дает дивергенцию как производную чистого потока векторного поля через поверхность небольшой сферы относительно площади поверхности сферы.

где S обозначает сферу радиуса r относительно точки p в R ³ , а интеграл представляет собой поверхностный интеграл, взятый относительно N , нормали к этой сфере.

Неограниченная интерпретация дивергенции дается теоремой Гаусса. Эта теорема является законом сохранения, утверждающим, что общий объем всех стоков и источников, т.е. объемный интеграл расходимости, равен чистому потоку через границу объема. В символах,

∫ _V DIV F ∂V = ∫ _S ( F · Н ) ∂S

где V, подмножество R ³ , является компактной областью с гладкой границей, а S = ∂V является той границей, ориентированной направленными наружу нормалями. Отметим, что теорема Гаусса вытекает из более общей теоремы Стокса , которая сама обобщает основную теорему исчисления .

В свете физической интерпретации векторное поле с постоянной нулевой дивергенцией называется несжимаемым – в этом случае чистый поток не может возникнуть на любой замкнутой поверхности.